"续住"用英语表示为"extend a stay"或"extend one's stay", "退房"用英语表示为"check out"。
"Extend a stay" 来自英语 extend 的意思是延长、延伸，加上a stay表示延长停留。
"Check out" 是英语中酒店和旅馆等住宿场所中常用的术语，表示退房结账，离开。
例句：
I would pke to extend my stay for one more night.
我想再住一晚。
Can I extend my stay for another week?
我可以再住一个星期吗？
It's time for us to check out.
我们该退房了。
Can you please process the check out for me?
请帮我办理退房手续好吗？