AcWing3.完全背包问题

参考题目：
AcWing 3、完全背包问题

有 N N N 种物品和一个容量是 V V V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i i i 种物品的体积是 v i v_i vi​，价值是 w i w_i wi​。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

f[i][j]：只从前 i 个物品中选，且总体积不超过 j 的所有方案。答案为 f[n][m]属性：总价值的 Max 状态计算

选 0 个第 i 个物品选 1 个第 i 个物品…选 k 个第 i 个物品…即 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, f[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w , ...)观察 f[i][j - v] = max(f[i - 1][j - v], f[i - 1][j - 2 * v] + w, ...) 与上面从第2项开始相同只相差 w[i]综上 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]) 代码

朴素版：暴力三层循环

#include #include #include using namespace std;const int N = 1010;int n, m;int v[N], w[N];int f[N][N];int main(){ cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 0; j <= m; j ++ ) for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ ) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]); cout << f[n][m] << endl; return 0;}

优化版一：少一层循环

#include #include #include using namespace std;const int N = 1010;int n, m;int v[N], w[N];int f[N][N];int main(){ cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 0; j <= m; j ++ ) // 完全背包需要正序循环 { f[i][j] = f[i - 1][j]; if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]); } cout << f[n][m] << endl; return 0;}

优化版二：滚动数组

#include #include #include using namespace std;const int N = 1010;int n, m;int v[N], w[N];int f[N];int main(){ cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) // 完全背包正序循环 f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); cout << f[m] << endl; return 0;}

参考资料
https://www.acwing.com/video/945/