The pseudoinverse A + A^+ A+ — the best inverse when the matrix A A A is not invertible
行空间向量 v i boldsymbol{v}_i vi乘矩阵 A A A得到列空间向量 σ i u i sigma_iboldsymbol{u}_i σiui
A v i = σ i u i Aboldsymbol{v}_i=sigma_iboldsymbol{u}_i Avi=σiui
如果矩阵 A A A可逆
v i σ i = A − 1 u i frac{boldsymbol{v}_i}{sigma_i}=A^{-1}boldsymbol{u}_i σivi=A−1ui
矩阵 A − 1 A^{-1} A−1的奇异值是 1 σ frac{1}{sigma} σ1、矩阵 A − 1 A^{-1} A−1的特征值是 1 λ frac{1}{lambda} λ1
如果矩阵 A A A不可逆,则它的伪逆 A + A^+ A+
当矩阵 A A A非满秩时,即 r < m r
当矩阵 A A A满秩时,即 m = n = r m=n=r m=n=r, A − 1 = A + = V Σ + V T A^{-1}=A^+=VSigma^+V^T A−1=A+=VΣ+VT
例子: