本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-微分方程和分离变量-网易公开课
正态分布_百度百科
彻底理解正态分布--强大的数学分析工具
标准差公式_百度百科
一、微分方程：
1、第一类
2、第二类
湮没算符
(当y=0时， 可以看到等式成立 ( )
这里老师说这个是正态分布的公式
检查：
正态分布曲线公式：
(μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差)
正态分布标准差的意义在于，它遵循一个经验法则，即大约95%的测量值落在均值附近的+/- 2倍个标准差之间
标准差的计算公式：
from sympy import *import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)ax.spines['left'].set_position('zero')ax.spines['bottom'].set_position('zero')ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')ax.yaxis.set_ticks_position('left')ax.set_aspect(1 ) def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt): yarr = [] xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) for xval in xarr: yval = expr.subs(x,xval) yarr.append(yval) y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label) def TangentLine(exprY,x0Val,xVal): diffExpr = diff(exprY) x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo') expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val) eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val)) eq1 = Eq(eq,0) solveY = solve(eq1) return xVal,solveYdef DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt): x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1) x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2) plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt) def Newton(expr, x0): ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0) return retx = symbols('x')a =3m = 0.9expr = (1/(2*np.pi*a)**(0.5)) * np.e**(-(x-m)**2/2*(a**2))DrawXY(-1,3,100,expr,'blue','',plt)#plt.legend(loc='lower right')plt.show()
标准正态分布曲线
expr = (1/(2*np.pi)**(0.5)) * np.e**(-(x)**2/2)DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','',plt)#plt.legend(loc='lower right')plt.show()
本节老师给出的方程：
A =3expr = A * np.e**(-(x)**2/2)DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','',plt)#plt.legend(loc='lower right')plt.show()
二、分离变量法
微分方程可化为
三、解微分方程举例
A = 3
四、例题
1、由(0,0)点引一条直线落在函数y的曲线上，交点处曲线y的斜率是这条直线的斜率的2倍，求这条曲线的方程
检查
注意： 在这个式子中，x=0处的值是没定义的
从几何上看， x=0时曲线的切线是平行于x轴的，而从(0,0)点引出的直线也落在(0,0)点
fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)ax.spines['left'].set_position('zero')ax.spines['bottom'].set_position('zero')ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')ax.yaxis.set_ticks_position('left')ax.set_aspect(1) A = 4expr = A * x**2DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','A * x**2',plt)A =-4expr = A * x**2DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','-A * x**2',plt)plt.legend(loc='lower right')plt.show()
2、上题中的抛物线与曲线相交处，处处垂直，求这条曲线的方程
（两直线垂直,在两者斜率都存在的前提下,其斜率的乘积为-1;如果其中直线不存在斜率,则另一条直线斜率为0。对于两条互相垂直的直线而言,它们的斜率互为倒数,因此其斜率的乘积为-1）
fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)ax.spines['left'].set_position('zero')ax.spines['bottom'].set_position('zero')ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')ax.yaxis.set_ticks_position('left')ax.set_aspect(0.2) A = 4expr = A * x**2DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','A * x**2',plt)A =-4expr = A * x**2DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','-A * x**2',plt)plt.legend(loc='lower right')A = 5expr = abs(A - 0.5*x**2)**0.5DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','|(A - 0.5*x**2)**0.5|',plt)expr = 0 - abs(A - 0.5*x**2)**0.5DrawXY(-3,3,100,expr,'blue','-|(A - 0.5*x**2)**0.5|',plt)plt.show()
这个曲线在y=0处没有意义（它的斜率y在分母），所以它是椭圆的上半或下半部分
最后老师说了一下这门课的目标
即通过一个函数的导数，有时还需要通过它的二阶导数的信息得到函数本身的信息。